podstawy geometri

Geometria powstała w starożytności. W swych początkach była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w VI wieku p.n.e. w starożytnej Grecji (Tales z Miletu). Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów jest dzieło Euklidesa Elementy (ok. 300 p.n.e.). Obejmuje ono teorię proporcji, arytmetykę oraz geometrię. Jest pierwszym dedukcyjnym wykładem geometrii w historii matematyki. Wszystkie twierdzenia są wyprowadzone zgodnie z tradycyjnymi regułami logiki na podstawie przyjętych pojęć pierwotnych i aksjomatów, których było pięć. Jest to również pierwsza aksjomatyczna teoria w historii matematyki. Aksjomatyzacja arytmetyki pojawiła się wiele wieków później.Momentem przełomowym w rozwoju geometrii było opublikowanie w XVII w. przez matematyka francuskiego Kartezjusza pracy La géométrie, (1637), co zapoczątkowało rozwój geometrii analitycznej. W pracy tej Kartezjusz wprowadził do geometrii metody algebraiczne. Niezależnie i nieco wcześniej uczynił to także Pierre de Fermat, który jednak nie opublikował swych wyników


Podstawowe pojęcia

Pojęciem bez definicji nazywamy pojęciem pierwotnym.
Pojęcia pierwotne w geometrii, to: punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń
Aksjomat to zdanie, którego prawdziwość przyjmuje się bez dowodu.Aksjomaty w geometrii, to:

Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi nieskończenie wiele prostych

Przez każde dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta

Przez punkt nie leżący na prostej l przechodzi dokładnie jedna prosta k równoległą do prostej l.

Figura geometryczna

Każdy zbiór punktów płaszczyzny nazywamy figurą płaską.

Figura plaska jest ograniczona, gdy istnieje koło, w którym ta figura się zawiera

Figura płaska jest nieograniczona, gdy nie jest zawarta w żądnym kole

Figura przestrzenna

Każdy zbiór punktów nazywamy figura przestrzenną

Figura przestrzenna jest ograniczona, gdy istnieje kula, w której ta figura się zawiera.

Figura przestrzenna jest nieograniczona, gdy nie jest zawarta w żądnej kuli.


Figura wypukła

Figurę nazywamy wypukła, jeżeli każdy odcinek, którego końce należą do figury, zawiera się w tej figurze

Figury przystające

Figury f1 i f2 nazywamy figurami przystającymi, gdy istnieje izometria przekształcająca figurę f1 w figurę f2.

Figury podobne

Figury f1 i f2 nazywamy figurami podobnymi, gdy istnieje podobieństwo przekształcające figurę f1 na figurę f2.