podstawy geometri

Geometria powstała w starożytności. W swych początkach była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w VI wieku p.n.e. w starożytnej Grecji (Tales z Miletu). Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów jest dzieło Euklidesa Elementy (ok. 300 p.n.e.). Obejmuje ono teorię proporcji, arytmetykę oraz geometrię. Jest pierwszym dedukcyjnym wykładem geometrii w historii matematyki. Wszystkie twierdzenia są wyprowadzone zgodnie z tradycyjnymi regułami logiki na podstawie przyjętych pojęć pierwotnych i aksjomatów, których było pięć. Jest to również pierwsza aksjomatyczna teoria w historii matematyki. Aksjomatyzacja arytmetyki pojawiła się wiele wieków później.Momentem przełomowym w rozwoju geometrii było opublikowanie w XVII w. przez matematyka francuskiego Kartezjusza pracy La géométrie, (1637), co zapoczątkowało rozwój geometrii analitycznej. W pracy tej Kartezjusz wprowadził do geometrii metody algebraiczne. Niezależnie i nieco wcześniej uczynił to także Pierre de Fermat, który jednak nie opublikował swych wyników


Podstawowe pojęcia

Pojęciem bez definicji nazywamy pojęciem pierwotnym.
Pojęcia pierwotne w geometrii, to: punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń
Aksjomat to zdanie, którego prawdziwość przyjmuje się bez dowodu.Aksjomaty w geometrii, to:

Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi nieskończenie wiele prostych

Przez każde dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta

Przez punkt nie leżący na prostej l przechodzi dokładnie jedna prosta k równoległą do prostej l.

Figura geometryczna

Każdy zbiór punktów płaszczyzny nazywamy figurą płaską.

Figura plaska jest ograniczona, gdy istnieje koło, w którym ta figura się zawiera

Figura płaska jest nieograniczona, gdy nie jest zawarta w żądnym kole

Figura przestrzenna

Każdy zbiór punktów nazywamy figura przestrzenną

Figura przestrzenna jest ograniczona, gdy istnieje kula, w której ta figura się zawiera.

Figura przestrzenna jest nieograniczona, gdy nie jest zawarta w żądnej kuli.


Figura wypukła

Figurę nazywamy wypukła, jeżeli każdy odcinek, którego końce należą do figury, zawiera się w tej figurze

Figury przystające

Figury f1 i f2 nazywamy figurami przystającymi, gdy istnieje izometria przekształcająca figurę f1 w figurę f2.

Figury podobne

Figury f1 i f2 nazywamy figurami podobnymi, gdy istnieje podobieństwo przekształcające figurę f1 na figurę f2.

geometria płaszczyzny

W trapez równoramienny o kącie rozwartym równym 120 stopni, wpisano okrąg o promieniu równym r. Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

Z trójkąta o bokach długości 6, 8 10 wycięto koło styczne do wszystkich jego boków. Oblicz pole pozostałej części trójkąta

W trójkącie równoramiennym prostokątnym oblicz cosinus kąta między środkową wychodzącą z kąta prostego i środkową wychodzącą z kąta ostrego.

Środki dwóch okręgów o promieniu równym r znajdują sie w odległości r. Oblicz stosunek części wspólnej okręgów do pozostałej części tych okręgów

Zadania z ciągów arytmetycznych

Marek zbiera muszelki nad morzem. Każdego kolejnego dnia zbiera o 3 muszelki więcej niż dnia poprzedniego. W jaki dzień tygodnia Marek będzie miał kolekcję 100 muszelek, jeśli przyjechał nad morze w sobotę i tego dnia zebrał 2 muszelki?


Zosia zbiera 150 znaczków w ciągu roku. Zbieranie rozpoczęła w roku, w którym skończyła 18 lat. a. Podaj wzórj okreslający liczbę znaczków Zosi na koniec danego roku, w fukcji liczby skończonych lat. b. Podaj dziedzinę i zbiór wartośco tak utworzonej funkcji. c. Ile będzie mieć lat Zosia w roku w którym przekroczy liczbę 2000 znaczk

Pola kwadratów tworzą ciąg arytmetyczny tak, że pole piatego kwadratu wynosi 21, zaś suma pól kwadratów drugiego i trzeciego wynosi 22. Suma ilu pól kwadratów będzie równa polu równe polu kwadratu o boku 8.

Funkcja Liniowa

Dana jest funkcja liniowa f(x), której wykres jest równoległy do wykresu funkcji y=x+2 i przechodzi przez punkt A(4,3). Podaj wzór funkcji f(x).

RozwiązanieJeśli wykres funkcji f(x) jest równoległy do wykresu funkcji y=x+2 to funkcja f(x) ma wzór postaci y=x+b. Jeśli wykres f. f(x) przechodzi przez punkt A to znaczy, że współrzędne tego punktu spełniają równanie funkcji f(x). Prawdziwe jest zatem równanie:

3=4+b
b=-1

Stąd szukana funkcja ma wzór:
y=x-1.

Twierdzenie Talesa

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema (kilkoma) prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Jeżeli m n, to

Twierdzenie odwrotne do tw. Talesa

Jeżeli odcinki wyznaczone przez proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta, to proste są równoległe.

Matematyka

2. rozklad 2008 na czynniki pierwsze wyglada tak:2008=2*2*2*2512008^n=8^n*251^nSprawdzmy wiec ile razy 251 wystepuje w iloczynie 2008!=1*2*3...*2007*2008251,502,753,1004,1255,1506,1757,2008 sa jedynymi liczbami z tego iloczynu podzielnymi przez 251tak wiec n<=8zeby n=8 musimy jeszcze wykazac ze 2008 dzieli sie przez 8^88^8=2^24, biorac 24 rozne liczby parzyste z iloczynu 2008!=1*2*3...*2007*2008 udowadniamy podzielnosc 2008! przez 8^8tak wiec n=8 #

Matematyka

zadanie 1

Rozpatrzmy przypadek skrajny, wybierzmy sobie taki punkt E aby pokrywał się z punktem C - wówczas aby kat EAF wynosił 45% punkt F musi się pokrywać z punktem D AE = AC = przekątna kwadratu, trójkąt AEF to połowa kwadratu, druga przekątna (BD) przecina go również na pół więc stosunek pól trójkatów AEF : APQ = 2 : 1

matematyka twierdzenie Talesa